Question Paper of Probability/Statistics/Proof

Question 1:

$I n t h e d i a g r a m a b o v e ∆ X Y Z i s r i g h t a n g l e d . P Q i s p a r a l l e l t o Y Z a n d Q i s t h e m i d p o i n t o f X Z . C o p y t h e d i a g r a m i n t o y o u r a n s w e r b o o k l e t . G i v e a r e a s o n w h y ∠ X P Q = 90 ° . P r o v e t h a t ∆ X P Q \equiv ∆ Y P Q . P r o v e Q Z = Q Y .$

Question 2:

In an arithmetic series, the sixth term is 13 and the tenth term is 1.

i) Find the first term and common difference.

ii) Find the sum of the first twenty terms.

Question 3:

A landscape gardener quotes the cost of a job at $4763, which include 10% GST .What is the cost of the job before GST is added ?

Question 4:

$T h e s u m o f t h e f i r s t t h r e e t e r m s o f a g e o m e t r i c s e r i e s i s 19 a n d t h e s u m t o i n f i n i t y i s 27 . F i n d : (i) t h e v a l u e o f t h e c o m m o n r a t i o . (i i) t h e v a l u e o f t h e f i r s t t e r m . (i i i) t h e v a l u e o f t h e f i f t h t e r m .$

$I n a c e r t a i n h o s p i t a l i t y c o u r s e a l l s t u d e n t s s i t f o r a t h e o r y e x a m i n a t i o n i n w h i c h 60 % o f t h e c a n d i d a t e s p a s s . T h o s e w h o p a s s t h e t h e o r y e x a m i n a t i o n t h e n s i t a p r a c t i c a l t e s t w h i c h i s p a s s e d b y 40 % o f t h o s e w h o s i t t h e p r a c t i c a l t e s t . A s t u d e n t i s c h o s e n a t r a n d o m . F i n d t h e p r o b a b i l i t y t h a t : (i) t h e s t u d e n t p a s s e s b o t h e x a m i n a t i o n s . (i i) t h e s t u d e n t p a s s e s j u s t o n e o f t h e e x a m i n a t i o n s .$

Question 5:

$A b o x c o n t a i n s 10 c h o c o l a t e s a l l o f i d e n t i c a l a p p e a r a n c e . F o u r h a v e c a r a m e l c e n t r e s a n d t h e o t h e r s i x h a v e m i n t c e n t r e s . J o l e n e r a n d o m l y s e l e c t s a n d e a t s t h r e e c h o c o l a t e s f r o m a b o x . F i n d t h e p r o b a b i l i t y t h a t J o l e n e e a t s : (i) t h r e e m i n t c h o c o l a t e s . (i i) e x a c t l y o n e c a r a m e l c h o c o l a t e . (i i i) a t l e a s t o n e m i n t c h o c o l a t e .$

Question 6:

$J e n n i i n v e s t s $ 30000 i n t o a n a c c o u n t o n t h e 1 s t o f M a r c h . S h e r e c e i v e s 9 % p . a . i n t e r e s t c o m p o u n d e d m o n t h l y . O n t h e f i r s t d a y o f e a c h m o n t h a f t e r t h a t s h e w i t h d r a w s $ 250 i m m e d i a t e l y a f t e r t h e i n t e r e s t i s p a i d . H o w m u c h m o n e y d i d s h e h a v e i n t h e a c c o u n t i m m e d i a t e l y a f t e r m a k i n g t h e f i r s t w i t h d r a w a l ? S h o w t h a t a f t e r m a k i n g t h e n t h w i t h d r a w a l t h e b a l a n c e o f t h e a c c o u n t i s g i v e n b y (33333 \frac{1}{3} - 3333 \frac{1}{3} \times 1 . 0073^{n})$

$A n a n t c o l o n y h a s a p o p u l a t i o n t h a t i s d e s c r i b e d b y t h e f u n c t i o n P = P_{0} - e^{k t} . I f t h e a n t c o n l o n y i n i t i a l l y h a d 300 a n t s a n d a f t e r 100 d a y s t h e p o p u l a t i o n h a d i n c r e a s e d t o 550 a n t s, f i n d : t h e v a l u e o f P_{0} a n d k . t h e t i m e t a k e n f o r t h e p o p u l a t i o n o f t h e c o l o n y t o r e a c h 1000 a n t s (w r i t e y o u r a n s w e r c o r r e c t t o t h e n e a r e s t d a y) .$ $I t w a s f o u n d t h a t o n t h e 1 s t o f J u n e, 30 s t u d e n t s i n a s c h o o l h a d t h e f l u . O v e r t h e n e x t m o n t h t h e n u m b e r o f c a s e s o f s t u d e n t s b e i n g s i c k w i t h t h e f l u i n c r e a s e d a t d e c r e a \sin g r a t e . D r a w a g r a p h t h a t w o u l d d e s c r i b e t h i s s i t u a t i o n .$

Question 7:

$H e a t h e r i n v e s t s $ 50000 i n a n a c c o u n t t h a t e a r n s 8 % p . a . i n t e r e s t, c o m p o u n d e d a n n u a l l y . S h e i n t e n d s t o w i t h d r a w $ M a t t h e e n d o f e a c h y e a r, i m m e d i a t e l y a f t e r t h e i n t e r e s t h a s b e e n p a i d . S h e w i s h e s t o b e a b l e t o d o t h i s f o r e x a c t l y 20 y e a r s, s o t h a t t h e a c c o u n t w i l l t h e n b e e m p t y . (i) W r i t e a n e x p r e s s i o n f o r t h e a m o u n t o f m o n e y H e a t h e r h a s i n t h e a c c o u n t i m m e d i a t e l y a f t e r s h e h a s m a d e h e r f i r s t w i t h d r a w a l . (i i) W r i t e a n e x p r e s s i o n i n t e r m s o f M f o r t h e a m o u n t o f m o n e y i n t h e a c c o u n t, 1 i m m e d i a t e l y a f t e r h e r 20 t h w i t h d r a w a l . (i i i) C a l c u l a t e t h e v a l u e o f M w h i c h l e a v e s h e r a c c o u n t e m p t y a f t e r t h e 2 20 t h w i t h d r a w a l .$

Question 8:

$T h e s e r i e s w h i c h b e g i n s 12 + 17 + 22 . . . h a s 16 t e r m s F i n d : (i) t h e 16^{t h} t e r m (i i) T h e s u m o f t h e f i r s t 16 t e r m s$

Question 9:

$(a) F o r t h e p a r a b o l a y^{2} - 2 y - 4 x - 7 = 0 f i n d : (i) t h e c o - o r d i n a t e s o f t h e v e r t e x . (i i) t h e c o - o r d i n a t e s o f t h e f o c u s . 1 (i i i) t h e e q u a t i o n o f t h e d i r e c t r i x . (i v) S k e t c h y^{2} - 2 y - 4 x - 7 = 0, l a b e l l i n g t h e v e r t e x, f o c u s a n d d i r e c t r i x o n l y .$

Question 10:

$A m a c h i n e p r o d u c e s M a t h o m a t s o f w h i c h 5 % a r e d e f e c t i v e . (i) W h a t i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a M a t h o m a t i s N O T d e f e c t i v e ? (i i) A r a n d o m s a m p l e o f n i t e m s i s t a k e n f r o m t h e m a c h i n e . F i n d t h e l a r g e s t v a l u e o f n t h a t m u s t b e s a m p l e d s o t h a t t h e p r o b a b i l i t y t h a t n o n e o f t h e M a t h o m a t s a r e d e f e c t i v e i s a t l e a s t 0.5 .$