Question Paper of Probability/Statistics/Proof

Question 1:

$T h e s u m o f t h e f i r s t ‘ n ’ t e r m s o f a s e r i e s i s g i v e n b y S_{n} = n^{2} + 6 n . P r o v e t h a t t h i s s e r i e s i s a r i t h m e t i c . (N o t e : I t w i l l b e i n s u f f i c i e n t t o o u t l i n e a p r o o f w h i c h i n v o l v e s e v a l u a t i n g S_{1}, S_{2},, e t c, T_{1}, T_{2}, e t c .)$

Question 2:

$I n a g a m e t w o c o i n s a r e u s e d . O n e o f t h e c o i n i s l a r g e, f a i r c o i n a n d t h e o t h e r c o i n i s s m a l l b i a s e d c o i n . T h e p r o b a b i l i t y o f a t a i l a p p e a r i n g o n t h e a m a l l, b i a s e d c o i n i s t w o t h i r d s . T w o p l a y e r s t a k e i t i n t u r n s t o t h r o w t h e t w o c o i n s s i m u l \tan e o u s l y . T h r o w i n g a h e a d s c o r e s 1 p o i n t a n d t h r o w i n g a t a i l s c o r e s 0 p o i n t s . A g a m e i n v o l v e s t w o t u r n s b y e a c h p l a y e r . W h a t i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a p l a y e r s c o r e s 4 p o i n t s i n a g a m e ? W h a t i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a p l a y e r s c o r e s a t l e a s t 1 p o i n t i n a g a m e ? W h a t i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a p l a y e r s c o r e s 3 p o i n t s i n a g a m e ?$

Question 3:

$A t o t a l o f 15 t i c k e t s a r e s o l d i n a r a f f l e w h i c h h a s t h r e e p r i z e s . T h e r e a r e 5 g r e e n, 5 b l u e a n d 5 r e d t i c k e t s . A t t h e d r a w i n g o f t h e r a f f l e, w i n n i n g t i c k e t s a r e n o t r e p l a c e d b e f o r e t h e n e x t d r a w . (i) W h a t i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t e a c h o f t h e w i n n i n g t i c k e t s i s r e d ? (i i) W h a t i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a t l e a s t o n e o f t h e w i n n i n g t i c k e t s i s n o t r e d ? (i i i) W h a t i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e r e i s o n e w i n n i n g t i c k e t o f e a c h c o l o u r ?$

Question 4:

$F i n d t h e l i m i t i n g s u m o f i n f i n i t e g r o m a t r i c s e r i s e \frac{7}{3} + \frac{14}{9} + \frac{28}{27} + . . . .$

Question 5:

$S h o w t h a t t h e s e c o n d d e r i v a t i v e o f \log_{e} (1 + \sin x) i s - \frac{1}{1 + \sin x} . I n J a n u a r y 2000, J u d y t o o k a $ 300 000 h o m e l o a n, w i t h i n t e r e s t a t 6 \cdot 0 % p e r a n n u m, c o m p o u n d i n g m o n t h l y . J u d y m a k e s m o n t h l y r e p a y m e n t s a t t h e e n d o f e a c h m o n t h . L e t A_{n} b e t h e a m o u n t o w i n g o n t h e l o a n a t t h e e n d o f e a c h m o n t h . (i) I f t h e m o n t h l y r e p a y m e n t i s $ 2000, s h o w t h a t t h e a m o u n t o w i n g a f t e r k m o n t h s i s g i v e n b y 100000 [4 - {(1.005)}^{k}] . (i i) H o w m u c h o f t h e l o a n i s s t i l l t o b e r e p a i d a f t e r 9 y e a r s ? (i i i) F i n d t h e n u m b e r o f p a y m e n t s J u d y w i l l m a k e t o p a y o f f t h e l o a n . I n J a n u a r y 2009, J u d y w a s u n a b l e t o m a k e r e p a y m e n t s d u e t o t h e G l o b a l F i n a n c i a l C r i s i s . H e r b a n k o f f e r e d h e r a r e p a y m e n t f r e e p e r i o d o f 18 m o n t h s, d u r i n g w h i c h t i m e i n t e r e s t c o n t i n u e d t o b e a c c r u e d . (i v) I f α i s t h e a m o u n t s t i l l o w i n g o n t h e l o a n a f t e r 9 y e a r s, w r i t e a n e x p r e s s i o n i n v o l v i n g α f o r t h e a m o u n t o w i n g a f t e r t h e r e p a y m e n t f r e e p e r i o d . (v) F i n d t h e n e w m o n t h l y r e p a y m e n t a m o u n t, R, w h i c h J u d y w i l l n e e d t o m a k e i f s h e p l a n s t o r e p a y t h e l o a n i n t h e s a m e a m o u n t o f t i m e h a d s h e n o t m i s s e d a n y r e p a y m e n t s .$

Question 6:

$(a) T w o c l o w n s B a r t a n d C r u s t y e n t e r a p i e t h r o w i n g c o n t e s t i n w h i c h t h e f i r s t t o h i t t h e o t h e r w i n s . B a r t h a s a 40 % c h a n c e o f h i t t i n g C r u s t y b u t C r u s t y h a s a n 80 % c h a n c e o f h i t t i n g B a r t . B o t h c l o w n s h a v e 2 p i e s e a c h a n d t h r o w i n t u r n, c o m m e n c i n g w i t h B a r t . (i) F i n d t h e p r o b a b i l i t y t h a t B a r t d o e s n o t w i n w i t h h i s f i r s t t h r o w . (i i) F i n d t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e r e i s n o w i n n e r . (i i i) F i n d t h e p r o b a b i l i t y t h a t B a r t w i n s .$

Question 7:

$I n d i a g r a m b e l o w B F ∥ A E, A b = 6 c m, B C = 5 c m a n d D F = 7.5 c m$

$i) S h o w t h a t D E = \frac{3 C D}{2}, g i v e n r e a s o n s i i) G i v e n C D = 2 c m, P r o v e ∆ B C D \equiv ∆ F E D$

Question 8:

$A c o m p a n y p r i d i c t s a y e a r l y p r o f i t $ 140000 i n y e a r 2018 . T h e c o m p a n y p r i d i c t s t h e y e a r l y p r o f i t w i l l r i s e e a c h y e a r 5 % i) S h o w t h e p r e d i c t e d p r o f i t i n y e a r 2020 i s g i v e n b y 140, 000 \times 1 . 05^{2} i i) F i n d t h e t o t a l p r i d i c t e d p r o f i t f o r t h e y e a r 2018 t o 2030 i n c l u s i v e y o u r a b s w e r t o t h e n e a r e s t d o l l a r$

Question 9:

$H o w m a n y t e r m s a r e t h e r e i n t h e g e o m e t r i c s e q u e n c e 2, 6, 18, . . ., 1 062 882 ?$

$(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13$

Question 10:

$F i n d t h e l i m i t i n g s u m o f t h e g e o m e t r i c s e r i e s 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + . . . .$